レンガブロック

最近の喫煙事情から、殺風景なレンガを眺めながらタバコを吸うことが多くなってきた。

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本日、こんな問題を思いついた。一つのレンガのブロックを、


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とする。これを使って下図のような柱となるように積み上げる。

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レンガは横にしても縦にしてもよいものとする。一段にレンガは2個分使用し、それをn段積み上げるのでレンガは全部で2n個使用することになる。空きスペースがあってはいけない。

この時のレンガの積み上げ方は何通りあるか?

実際に数えてみると、


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である。一般項を求めると・・・、

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である。不思議だが正しそうである。